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Thursday, February 23

  1. msg Ich würde das gern besser verstehen message posted Ich würde das gern besser verstehen Ach, blöd... Gut, werd mal sehen, wie ich das anders formatieren kann...
    Ich würde das gern besser verstehen
    Ach, blöd... Gut, werd mal sehen, wie ich das anders formatieren kann...
    9:42 am

Friday, February 17

  1. msg Ich würde das gern besser verstehen message posted Ich würde das gern besser verstehen Deine neusten Inhalte zu Vals lesen sich sehr verständlich, endlich begreife ich das eigentlich Nah…
    Ich würde das gern besser verstehen
    Deine neusten Inhalte zu Vals lesen sich sehr verständlich, endlich begreife ich das eigentlich Naheliegende. Einziges Problem sind die Math-Blöcke: keine Ahnung warum, mein Browser schafft es nicht, die nötigen Fonts zu laden, ich sehe also [Math Processing Error] anstelle der eigentlichen Informationen. Vielleicht wäre es ja besser hier eine landläufige Programmiersprache zu verwenden anstelle mathematischer Formeln. Gut ich verstehe, dass man Gleichungen eher schlecht in C oder Python schreiben kann, außer per "assert(wahre Aussage)".
    12:30 am

Thursday, February 16

  1. page Verallgemeinerte reguläre Temperatur edited ... -4*x1 +4*x2 -x3 = 0 Dies ist noch eine ziemlich allgemeine Bedingung mit einer grossen Zahl v…
    ...
    -4*x1 +4*x2 -x3 = 0
    Dies ist noch eine ziemlich allgemeine Bedingung mit einer grossen Zahl von Lösungen, von denen viele nicht sehr "musikalisch sinnvoll" sein werden. Eine für praktische Zwecke sinnvolle Zusatzbedingung ist, dass das Intervall der Oktave rein sein soll, also
    ...
    0, 0>
    log2(2)
    1
    = log2(2) = 1
    woraus folgt:
    x1 = 1
    In der obigen Gleicihung eingesetzt ergibt sich
    4*x2 -x3 - 4 = 0
    ...
    einer eindeutigen Lösung - beispielsweiseLösung.
    Beispielsweise erhält man
    die Viertelkomma-mitteltönige
    ...
    dass die Quintekleine Terz 6/5 rein sein
    ...
    x2, x3 ||-1,||1, 1, 0>-1> = log2(3/2),log2(6/5), und die entsprechende TemepraturTemperatur ist die Drittelkomma-mitteltönige Stimmung.
    Die Bedingung schliesslich, dass die Quinte 3/2 rein sein soll, ergibt die Gleichung <x1, x2, x3 ||-1, 1, 0> = log2(3/2) und
    die pythagoräische
    [Todo normierte Val-Listen ]
    Charakterisierung über "Wedgie"
    (view changes)
    9:17 am
  2. page Verallgemeinerte reguläre Temperatur edited ... Eine temperierte Stimmung erhält man naheliegenderweise, indem man einen (typischerweise nur l…
    ...
    Eine temperierte Stimmung erhält man naheliegenderweise, indem man einen (typischerweise nur leicht) anderen Val verwendet. Im Falle einer mitteltönigen Temperatur würde also der Intervallvektor der reinen Quinte |-1, 1, 0> nicht auf log2(3/2) abgebildet, sondern auf einen etwas kleineren Wert.
    Der Prozess des Austemperierens eines Kommas stellt sich in Val-Sprache so dar, dass der Intervallvektor des Kommas vom Val auf 0 abgebildet wird - d. h. das Komma befindet sich im Kern der Val-Abbildung.
    Als Beispiel diene einmal mehrIm Fall einer mitteltönigen Temperatur käme wieder das syntonische Komma 81/80,81/80 zum Zug, mit KET-Vektordarstellung
    <x1, x2, x3 ||-4, 4, -1> = 0
    also
    -4*x1 +4*x2 -x3 = 0
    ...
    "musikalisch sinnvoll" siensein werden. Eine
    ...
    praktische Zwecke ziemlich sinnvolle Zusatzbedingung
    <x1, x2, x3 ||1, 0, 0>
    log2(2)
    ...
    In der obigen Gleicihung eingesetzt ergibt sich
    4*x2 -x3 - 4 = 0
    ...
    Systeme) stehen. DurhcDurch Hinzufügen einer
    ...
    Lösung - Beispielsweisebeispielsweise die Viertelkomma-mitteltönige
    ...
    log2(5/4) ergibt.
    Die Bedingung, dass die Quinte rein sein soll, ergibt demgegenüber die Gleichung <x1, x2, x3 ||-1, 1, 0> = log2(3/2), und die entsprechende Temepratur ist die pythagoräische Stimmung.

    [Todo normierte Val-Listen ]
    Charakterisierung über "Wedgie"
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    9:10 am
  3. page Verallgemeinerte reguläre Temperatur edited ... Der Prototyp eines Vals ist die Funktion, welche aus einem Intervallvektor den Zweier-Logarith…
    ...
    Der Prototyp eines Vals ist die Funktion, welche aus einem Intervallvektor den Zweier-Logarithmus des Frequenzverhätnisses des entsprechenden Intervalls errechnet, das Intervall der reinen Prim also auf 0 abbildet, die Oktave auf 1. Der BRA-Vektor dafür ist:
    <log2(2), log2(3), log2(5),...|
    bzw., in Dezimalzahlen:
    <1, 1.58496, 2.32193,...|

    Dieser Val beschreibt die untemperierte, "reine" Stimmung.
    Eine temperierte Stimmung erhält man naheliegenderweise, indem man einen (typischerweise nur leicht) anderen Val verwendet. Im Falle einer mitteltönigen Temperatur würde also der Intervallvektor der reinen Quinte |-1, 1, 0> nicht auf log2(3/2) abgebildet, sondern auf einen etwas kleineren Wert.
    Der Prozess des Austemperierens eines Kommas stellt sich in Val-Sprache so dar, dass der Intervallvektor des Kommas vom Val auf 0 abgebildet wird - d. h. das Komma befindet sich im Kern der Val-Abbildung.
    [TodoAls Beispiel diene einmal mehr das syntonische Komma 81/80, mit KET-Vektordarstellung |-4, 4, -1> . Für den Val <x1, x2, x3 | einer temperierten Stimmung, die dieses Komma austemperiert, muss dann gelten:
    <x1, x2, x3 ||-4, 4, -1> = 0
    also
    -4*x1 +4*x2 -x3 = 0
    Dies ist noch eine ziemlich allgemeine Bedingung mit einer grossen Zahl von Lösungen, von denen viele nicht sehr "musikalisch sinnvoll" sien werden. Eine für praktische Zwecke ziemlich sinnvolle Zusatzbedingung ist, dass das Intervall der Oktave rein sein soll, also
    <x1, x2, x3 ||1, 0, 0>
    log2(2)
    1
    woraus folgt:
    x1 = 1
    In der obigen Gleicihung eingesetzt ergibt sich
    4*x2 -x3 - 4 = 0
    Dies ist immer noch eine Gleichung mit 2 Unbekannten und mehreren Lösungen, wleche für die verschiedenen möglichen mitteltönigen Temperaturen (1/3-, 1/4-, 1/6- oder 2/7-Komma mitteltönigen Stimmung, Lucy-Stimmung , und streng mathematisch auch die rein pythagoräische Stimmung sowie superpythagoräische Systeme) stehen. Durhc Hinzufügen einer weiteren Bedingung erhält man dann ein System von drei Gleichungen mit 3 Unbekannten und einer eindeutigen Lösung - Beispielsweise die Viertelkomma-mitteltönige Stimmung durch die Bedingung, dass die grosse Terz 5/4 ebenfalls rein intoniert werden soll, was die Gleichung <x1, x2, x3 ||-2, 0, 1> = log2(5/4) ergibt.
    [Todo normierte Val-Listen
    ]
    Charakterisierung über "Wedgie"
    [Todo]
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    9:01 am

Tuesday, January 24

  1. page Verallgemeinerte reguläre Temperatur edited ... Dieser Val beschreibt die untemperierte, "reine" Stimmung. Eine temperierte Stimmun…
    ...
    Dieser Val beschreibt die untemperierte, "reine" Stimmung.
    Eine temperierte Stimmung erhält man naheliegenderweise, indem man einen (typischerweise nur leicht) anderen Val verwendet. Im Falle einer mitteltönigen Temperatur würde also der Intervallvektor der reinen Quinte |-1, 1, 0> nicht auf log2(3/2) abgebildet, sondern auf einen etwas kleineren Wert.
    [Todo Austemperieren vonDer Prozess des Austemperierens eines Kommas stellt sich in Val-Sprache so dar, dass der Intervallvektor des Kommas vom Val auf 0 abgebildet wird - d. h. das Komma befindet sich im Kern der Val-Abbildung.
    [Todo Beispiel
    ]
    Charakterisierung über "Wedgie"
    [Todo]
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    5:08 am

Monday, January 16

  1. page Verallgemeinerte reguläre Temperatur edited ... <log2(2), log2(3), log2(5),...| Dieser Val beschreibt die untemperierte, "reine"…
    ...
    <log2(2), log2(3), log2(5),...|
    Dieser Val beschreibt die untemperierte, "reine" Stimmung.
    [Todo weiter]Eine temperierte Stimmung erhält man naheliegenderweise, indem man einen (typischerweise nur leicht) anderen Val verwendet. Im Falle einer mitteltönigen Temperatur würde also der Intervallvektor der reinen Quinte |-1, 1, 0> nicht auf log2(3/2) abgebildet, sondern auf einen etwas kleineren Wert.
    [Todo Austemperieren von Kommas ]

    Charakterisierung über "Wedgie"
    [Todo]
    (view changes)
    3:41 am
  2. page Verallgemeinerte reguläre Temperatur edited ... über eine normierte Komma-Liste über einen "wedgie" Für eine konzentrierte mathem…
    ...
    über eine normierte Komma-Liste
    über einen "wedgie"
    Für eine konzentrierte mathematische Einführung in die Therie der reguläre Temperaturen siehe auch (englischsprachiger Artikel):
    Andrew Milne, William Sethares, James Plamondon: Tuning continua and keyboard layouts, Journal of Mathematics and Music vol. 2 issue 1, 2008.

    Charakterisierung über Kommas
    Im Intervallraum erscheinen rationale Intervalle gemäss ihrer Primfaktorzerlegung als Vektoren, so auch das syntonische Komma.
    ...
    Man beachte, dass der 2-3-5-Intervallraum dreidimensional ist, das Tonsystem einer mitteltönigen Stimmung hingegen zweidimensional. Der Vorgang des Austemperierens - die Bildung des Quotienten - führt zu einer Reduktion der Dimension.
    Charakterisierung über "vals"
    [Todo]
    englischsprachiger
    Englischsprachiger Artikel
    Als "Val" wird eine lineare Funktion auf dem Intervallraum bezeichnet, also, kurz gesagt, ein Mitglied des dualen Vektorraums zum Intervallraum.
    Vals werden als BRA-Vektoren notiert. Die Anwendung der entsprechenden Funktion auf einen Intervallvektor wird dann als Bra-Ket notiert (siehe auch Umrechnung von Intervallvektoren in Cents)
    Der Prototyp eines Vals ist die Funktion, welche aus einem Intervallvektor den Zweier-Logarithmus des Frequenzverhätnisses des entsprechenden Intervalls errechnet, das Intervall der reinen Prim also auf 0 abbildet, die Oktave auf 1. Der BRA-Vektor dafür ist:
    <log2(2), log2(3), log2(5),...|
    Dieser Val beschreibt die untemperierte, "reine" Stimmung.
    [Todo weiter]

    Charakterisierung über "Wedgie"
    [Todo]
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    3:32 am

Thursday, January 5

  1. page Verallgemeinerte reguläre Temperatur edited ... Beispiel: Wenn man bei einer mitteltönigen Stimmung zusätzlich das pythagoräische Komma austem…
    ...
    Beispiel: Wenn man bei einer mitteltönigen Stimmung zusätzlich das pythagoräische Komma austemperiert, erhält man das bekannte 12edo.
    Analog kann man auch von Anfang an in einem Intervallraum niedrigerer Dimension beginnen, also etwa dem zweidimensionalen zu den Primzahlen 2 und 3 (dem pythagoräischen Intervallraum). Da das pythagoräische Komma nur die Primzahlen 2 und 3 enthält, kann man es auch auf diesem austemperieren, und das Resultat wird wieder 12edo sein.
    Nichtoktavische Temperaturen
    [to do]

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    3:45 am

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